Matemática Grega » Origens antigas

CIVILIZAÇÕES ANTIGAS

de Cristian Violatti 
publicado em 24 de setembro de 2013

Os matemáticos da Grécia antiga fizeram uma contribuição extremamente significativa ao pensamento mundial e a todos os assuntos práticos que dependem dessa base intelectual, da geometria à engenharia, da astronomia ao design. Influenciados inicialmente pelos egípcios, os matemáticos gregos avançariam para fazer descobertas como a teoria de triângulos retângulos de Pitágoras e, concentrando-se no abstrato, trazem clareza e precisão a problemas matemáticos milenares.Suas soluções forneceram os fundamentos matemáticos fundamentais que todos os futuros matemáticos e cientistas construiriam até os dias atuais.

Influências precoces

O nascimento da matemática grega deve seu ímpeto à influência de alguns de seus vizinhos, especialmente o Egito.Durante a 26ª dinastia do Egito (c. 685-525 aC), os portos do Nilo foram abertos ao comércio grego pela primeira vez e importantes figuras gregas, como Thales e Pitágoras, visitaram o Egito, trazendo consigo novas habilidades e conhecimentos.Ionia, além da influência egípcia, foi exposta à cultura e às idéias da Mesopotâmia através de seu vizinho, o reino de Lídia.

Alguns séculos depois, durante o período helenístico, a astronomia grega floresceu depois que Alexandre, o Grande,conquistou o Oriente. O conhecimento astronômico da cultura babilônica e caldéia tornou-se disponível para os gregos, que lucraram explorando-a sistematicamente. Isso levou ao avanço de muitas ferramentas matemáticas gregas, como o uso de um sistema numeral com 60 como base, que permitia aos gregos dividir círculos em 360 graus. O uso de 60 como base de um sistema matemático não é uma questão menor: 60 é um número que tem muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), o que torna mais fácil lidar com cálculos envolvendo frações.

A influência egípcia na matemática grega também pode ser notada na etimologia dos principais termos matemáticos gregos.Estrabão, o famoso geógrafo grego, explica a origem da palavra geometria (que significa literalmente "medição da terra") como segue:

A inundação do Nilo repetidamente leva embora e adiciona solo, alterando a configuração da paisagem e escondendo os marcadores que separam a terra de uma pessoa da de outra pessoa. As medições têm que ser feitas repetidas vezes, e dizem que esta é a origem da geometria... (Estrabão, Geografia 17.1.3)

Conquistas Antecipadas

Como é que os gregos conseguiram avançar seu conhecimento matemático a ponto de se tornar superior aos egípcios, uma civilização muito mais antiga? Já em 3500 aC, os cálculos egípcios (e também babilônicos) eram os melhores do mundo. Os egípcios usavam seu conhecimento matemático em grande parte para fins de engenharia; sem isso, construir as grandes pirâmides e outros monumentos de tirar o fôlego teria sido impossível.

O que os gregos derivaram da matemática egípcia eram principalmente regras práticas com aplicações específicas. Os egípcios sabiam, por exemplo, que um triângulo cujos lados estão em uma proporção de 3: 4: 5 é um triângulo retângulo. Isso porque, para formar ângulos retos, os especialistas em terra egípcios usavam uma corda dividida em doze partes iguais, formando um triângulo com três partes em um lado, quatro partes no segundo lado e cinco partes no lado restante. O ângulo direito foi encontrado onde o lado de três unidades se juntou ao lado de quatro unidades. Este foi um método muito prático para formar ângulos retos. Como os egípcios chegaram a esse método não é registrado. Nem temos registros egípcios em análises posteriores relacionadas a esse assunto. Os egípcios eram muito práticos para se preocupar em analisar isso em detalhes; aparentemente, seu interesse não foi além da aplicação prática desse método. Um nativo grego de Ionia olhou para este triângulo 3: 4: 5 e viu nele o que ninguém mais parecia ter notado. Seu nome era Pitágoras, e ele estendeu essa questão do triângulo 3: 4: 5 ao seu limite lógico, desencadeando uma revolução intelectual.

Pitágoras (c.571 - c.497 aC) foi o líder e fundador de um movimento peculiar cujos seguidores eram conhecidos como os pitagóricos. Os membros desta escola estavam convencidos de que o universo poderia ser descrito em termos de números inteiros: 1, 2, 3, 4, etc. Baseado no triângulo 3: 4: 5 conhecido pelos egípcios, Pitágoras criou um teorema matemático que leva seu nome: que, em um triângulo retângulo, quando as áreas dos quadrados erguidos nos dois lados menores foram somadas, eles se igualaram à área do quadrado erguido no lado mais longo, o lado oposto ao ângulo direito (a hipotenusa ).É importante notar que os gregos originalmente declararam esse teorema em termos de objetos geométricos em vez de números.

Por que esse teorema era um insight tão importante? Porque mostra o desenvolvimento de algumas técnicas importantes.

1. A técnica da abstração, baseada em ignorar considerações físicas que são vistas como meramente incidentais. Se era uma corda, um pedaço de madeira ou qualquer outro objeto físico era irrelevante. Era tudo sobre propriedades de "linhas retas" conectadas em ângulos, nada mais. Essas linhas são simplesmente construções mentais e a única entidade necessária para a solução do problema. O processo de abstração é se livrar de todos os elementos não essenciais e considerar apenas o que é fundamental.
2. A técnica de generalização, que consiste em desenvolver princípios gerais com aplicações amplas, em vez de regras com uso específico. O teorema desenvolvido por Pitágoras era verdadeiro não apenas para o triângulo 3: 4: 5, mas era um princípio aplicável a qualquer outro triângulo retângulo, independentemente de suas dimensões. Além disso, o teorema mostrou que um triângulo é um triângulo retângulo se, e somente se, o quadrado do lado mais longo coincidir com a soma dos quadrados dos dois lados restantes: o ângulo reto estava onde os dois lados mais curtos se encontravam.
3. A arte do raciocínio dedutivo. Trata-se de ter um conjunto de declarações ou premissas gerais iniciais e chegar a conclusões elaborando suas implicações lógicas.
4. Matemática no sentido de argumentos dedutivos demonstrativos. Ao combinar raciocínio dedutivo e generalização, a matemática não era mais vista como um conjunto estático de regras, mas como um sistema dinâmico capaz de desenvolvimento complexo.

Devemos a Pitágoras, ou talvez a seus seguidores, essas importantes inovações gregas no campo da matemática.

A beleza e harmonia que os pitagóricos encontraram na matemática era tão poderosa que a ciência grega em geral acabava sendo contaminada por um forte viés matemático. Em outras palavras, os gregos passaram a acreditar que o raciocínio dedutivo, que era incrivelmente bem-sucedido em matemática, era também a única maneira aceitável de obter conhecimento em todas as outras disciplinas. A observação foi subestimada, a dedução foi feita como rei, e o conhecimento científico grego foi conduzido a um beco sem saída em praticamente todos os ramos que não as ciências exatas. Esta superestimação da matemática pode ser vista em uma citação de Galeno:

Considerando que o tempo causa tristeza e outras emoções para alterar e cessar, quando a mera passagem do tempo já persuadiu alguém que ele tem o suficiente de "duas vezes dois são quatro" ou "todos os raios de um círculo são iguais" e fez ele mudar de idéia sobre tais crenças e desistir delas? (Galeno, Sobre as Doutrinas de Hipócrates e Platão 4.7.43)

A primeira crise matemática: a raiz quadrada de 2

Depois que o teorema de Pitágoras foi estabelecido, a seguinte questão foi colocada: Se tivéssemos um quadrado com cada lado de uma unidade de comprimento, e também tivéssemos um segundo quadrado com o dobro da área do primeiro quadrado, como o lado do segundo quadrado comparar com o lado do primeiro quadrado? Esta é a origem da questão sobre a raiz quadrada de 2.

Sabemos hoje que a raiz quadrada de 2 é um número irracional, o que significa que não pode ser expressa por nenhuma fração simples. No entanto, os gregos não sabiam disso, então continuaram tentando resolver esse enigma e encontrar uma resposta válida. Por mais que tentassem, os pitagóricos não conseguiam resolver o enigma, e finalmente enfrentaram a realidade de que nenhuma proporção de dois números inteiros poderia expressar o valor da raiz quadrada de 2.

O segredo dos números irracionais foi cuidadosamente mantido pelos pitagóricos. A razão para isso é que o segredo criou uma espécie de crise nas próprias raízes das crenças pitagóricas. Há um relato interessante (sua precisão histórica não é certa) sobre um membro do círculo pitagórico que aparentemente divulgou o segredo para alguém fora da irmandade. O traidor foi jogado em águas profundas e se afogou. Este episódio é por vezes referido como o primeiro mártir da ciência. No entanto, poderíamos também pensar sobre essa pessoa como um dos muitos mártires da superstição, uma vez que não era o aspecto científico dos números irracionais que era a causa deste homicídio, mas sim suas extrapolações religiosas que eram vistas como uma ameaça para o homicídio. fundação do misticismo pitagórico.

A crise de números irracionais encorajou a criação de métodos inteligentes de aproximação do valor da raiz quadrada de 2. Um dos melhores exemplos destes é o método descrito na seguinte tabela:

Aproximação ao valor da raiz quadrada de 2

Depois de muitas tentativas frustradas de encontrar o valor da raiz quadrada de 2, os gregos não tiveram escolha senão aceitar que a aritmética não poderia ser a base da matemática. Eles tiveram que procurar em outro lugar, então eles olharam para a geometria.

O sistema euclidiano

Euclides (c.325- c. 265 aC) foi um matemático grego antigo que viveu em Alexandria. Ele estava familiarizado com todo o trabalho matemático grego que o precedeu, então decidiu organizar todo esse conhecimento em um único trabalho coerente.Este trabalho chegou até nós conhecido como The Elements, e é o segundo livro mais vendido de todos os tempos, superado apenas pela Bíblia.

Os elementos são lembrados principalmente por sua geometria. A abertura do Livro I começa com diferentes definições sobre geometria básica:

1. Um ponto é aquele que não tem parte.
2. Uma linha é de comprimento sem largura.
3. As extremidades de uma linha são pontos.
4. Uma linha reta é uma linha que fica de maneira uniforme com os pontos em si.
5. Uma superfície é aquela que tem comprimento e largura apenas.
6. As extremidades de uma superfície são linhas.

(Euclides, definições 1 a 6)

Não há nada de original em Euclides no conteúdo de The Elements (ele era apenas um compilador). No entanto, a ordem das proposições e a estrutura lógica geral do trabalho é, em grande parte, a criação de Euclides. É sem dúvida um dos livros mais importantes e influentes já escritos e uma obra-prima da tradição intelectual grega.

Primeira versão em inglês dos elementos de Euclides, 1570

Do ponto de vista do conhecimento científico moderno, The Elements tem algumas falhas. Em primeiro lugar, ela depende exclusivamente da dedução (construção de conclusões sobre um pressuposto conjunto de generalizações auto-evidentes), e não um traço de indução (começando com observações de fatos particulares e derivando generalizações deles) pode ser encontrado nela. Em segundo lugar, segue uma sequência lógica pela qual todos os teoremas do mesmo poderiam ser provados através do uso de teoremas previamente comprovados. Essa sequência lógica nos leva a um conjunto de suposições iniciais que não podem ser provadas. Essas suposições são apresentadas por Euclides como inquestionáveis, o que significa que são tão óbvias que nenhuma prova é necessária. Uma analogia dessa estrutura seria uma cadeia na qual cada link é necessário para ser conectado a outro link, mas os links iniciais são simplesmente suspensos, conectados em nenhum lugar.

O problema de Delian

Além do valor da raiz quadrada de 2, havia também outro famoso problema que ocupava os gregos: a duplicação do cubo. A lenda diz que:

O oráculo de Apolo disse ao povo de Delfos que, para se libertarem de uma praga, deveriam construir um altar com o dobro do tamanho do existente. (Theon of Smyrna, sobre a utilidade da matemática em McKeown)

Os arquitetos não tinham ideia de como resolver isso. O altar tem a forma de um cubo e a primeira ideia que pode vir à mente é simplesmente dobrar todos os lados do altar, mas isso leva a um altar oito vezes maior que o original, em vez de duas vezes maior. A maneira correta de abordar esse problema é perguntar: Qual deve ser o comprimento de cada um dos lados do novo altar se quisermos tornar o volume duas vezes maior que o volume do altar original? Trata-se de determinar o valor da raiz cúbica de 2, que também é um número irracional. Esse problema causou na geometria a mesma perplexidade que a raiz quadrada de 2 causou na aritmética.

O problema de Delian

Matemáticos gregos, incluindo Platão, levantaram a questão e trabalharam nela por séculos, produzindo uma grande quantidade de trabalho admirável. A questão central aqui é poder determinar a raiz cúbica de 2.

A Importância do Rigor Matemático na Matemática Grega

Os gregos entendiam algo que de alguma forma iludia os egípcios: a importância do rigor matemático. Os antigos egípcios, por exemplo, equiparam a área de um círculo à área de um quadrado cujos lados eram 8/9 do diâmetro do círculo. Da perspectiva desse cálculo, o valor da constante matemática pi é 256/81. Este é um cálculo muito preciso (cerca de meio por cento de erro), mas matematicamente incorreto. Para os propósitos da engenharia egípcia, no entanto, esse erro de meio por cento não era realmente importante, caso contrário, seus impressionantes monumentos teriam entrado em colapso há muito tempo. No entanto, ignorar esse erro de meio por cento negligencia uma propriedade fundamental do valor verdadeiro de pi, que é que nenhuma fração pode expressá-lo. É também um número irracional.

Os egípcios também arredondaram outros números, como o valor da raiz quadrada de 2 (com a fração 7/5). Usando valores arredondados, a natureza irracional desses números não foi percebida pelos egípcios. Os gregos eram obcecados pelo rigor matemático; para eles, arredondar para cima não era bom o suficiente. Eles reconheceram a exatidão da linguagem matemática.

Ao não desistir na busca da exatidão matemática, os gregos desenvolveram um conhecimento matemático que é, junto com a astronomia, talvez o monumento mais admirável de suas conquistas intelectuais.

Artigo baseado em informação obtida desta fonte: Ancient History Encyclopedia